Los conjuntos numéricos son las categorías en las que se clasifican los números, en función de sus diferentes características. Por ejemplo, si tienen o no una parte decimal, o si poseen un signo negativo delante.
Los conjuntos numéricos son, en otras palabras, los tipos de números que las personas tenemos a nuestra disposición para realizar operaciones, tanto cotidianas como a un nivel más sofisticado (por parte de ingenieros o científicos, por ejemplo).
Estos conjuntos son creación de la mente humana, y forman parte de una abstracción. Es decir, no existen materialmente hablando.
A continuación, explicaremos los principales ejemplos de conjuntos numéricos, los cuales pueden verse representados en la imagen superior.
Los números naturales son aquellos que toman intervalos discretos de una unidad, y empiezan con el número 1, extendiéndose hasta el infinito. Una forma de distinguir estos números es como aquellos que sirven para contar.
En términos formales, el conjunto de números naturales se expresa con la letra N y de la siguiente forma:
DEFINICION TECNICA
Los números naturales son un conjunto de números discreto que pertenece a la recta real y puede o no incluir el número cero (0).
En otras palabras, los números naturales son el primer conjunto de números que aprendemos cuando somos pequeños y utilizamos para contar.
Artículo recomendado: números reales.
Expresión
Los números naturales se expresan con la letra:
N
Este conjunto no tiene en cuenta el número cero (0) excepto que se especifique lo contrario. Por lo tanto, el conjunto de los naturales empezará siempre por la unidad, tal que:
Si incluimos el cero (0) en el conjunto de los naturales tenemos que especificarlo de la forma:
¿Cómo podemos acordarnos de cuáles son los números naturales?
Fácil, solo tenemos que pensar en su nombre: naturales. Entonces, los números naturales son los números que usamos “naturalmente” para contar.
Por ejemplo, cuando contamos las nubes en el cielo, los esquiadores en las pistas de esquí, los caballos en el campo…
Ejemplo de números naturales
A continuación mostramos un ejemplo de números naturales.
Ejemplos de números naturales.
En la primera expresión estamos diciendo que la variable nubes es un conjunto formado por las nubes que hay en el cielo. En otras palabras, si contamos cada nube podemos decir que hay nubes en el cielo.
En este caso, ¿Cuántas nubes hay en el cielo este mediodía?
Ejemplo.
La expresión matemática sería la siguiente:
Para contar las nubes hemos empezado por el número uno y hemos seguido contando los elementos hasta terminar la serie. Entonces, hemos empleado los números naturales para contar las nubes.
Conjunto discreto
Es importante fijarse en la característica común que comparten las variables anteriores. Tanto las nubes como los esquiadores y los caballos son conjuntos discretos. En otras palabras, entre las nubes, esquiadores y los caballos no hay nada.
Si entre nube y nube hubieran infinitas nubes, entonces estaríamos hablando de un conjunto continuo, como el conjunto de los números reales. Lo mismo para los esquiadores y los caballos.
Ejercicio resuelto
Escribir la expresión matemática de los siguientes conjuntos de elementos.
¿Cuántos esquiadores están bajando las pistas de esquí esta mañana?
Ejemplo.
La expresión matemática sería la siguiente:
Expresión matemática del ejemplo:
¿Cuántos caballos están pasturando por la pradera esta tarde?
Ejemplo.
La expresión matemática sería la siguiente:
Expresión matemática del ejemplo.
Efectivamente hay dos caballos porque lo del medio es un unicornio.
Números Enteros
Los números enteros incluyen los números naturales, más aquellos que también toman intervalos discretos, pero que tienen un signo negativo por delante, y se incluye el cero. Lo podemos expresar de la siguiente manera:
Dentro de este conjunto, cada número tiene su correspondiente opuesto con otro signo. Por ejemplo, el opuesto de 10 es -10.
DEFINICION TECNICA
Los números enteros son cualquier número que corresponda al conjunto de los números naturales más sus opuestos incluyendo el número cero (0).
En otras palabras, los números enteros son los números que empleamos para contar, incluyendo el cero (0), más todos los números opuestos.
Una vez introducidos los números naturales, el conjunto entero es el primer conjunto de números que incorpora números negativos.
Situación dentro de los números reales
Como los números naturales, racionales, irracionales y complejos, los números enteros también pertenecen a los números reales.
El siguiente esquema muestra su posición dentro de los números reales.
Esquema números reales.
Representación
Los números enteros se representan mediante la letra Z,
Letra que representa a los números enteros.
Conjunto de los números enteros
Para recordar los números enteros tenemos que pensar como si hubiera un espejo situado en el número cero (0). Tal y como se puede ver en el esquema anterior, los números naturales (marcados en color verde) se reflejan en el espejo y aparecen con signo negativo (marcados en color amarillo).
Entonces, es lógico que encontremos los números naturales (marcados en color verde) en el conjunto de los números enteros porque forman parte de este conjunto.
Características de los números enteros
A diferencia de los números racionales, los números enteros representan “enteramente” su valor. En otras palabras, los números enteros no serán nunca números con decimales, y del mismo modo, los números con decimales no serán nunca números enteros.
Diferenciar los números enteros de otros conjuntos, por ejemplo, el conjunto de los números irracionales, es más fácil pero, a veces, diferenciarlos de los números racionales o naturales resulta más difícil. Entonces, es importante recordar las principales características de cada conjunto para diferenciarlos correctamente.
De la misma forma que el conjunto de los números naturales, los números enteros también son un conjunto discreto.
Ejemplo de números enteros
Suponemos que el siguiente gráfico recoge las temperaturas redondeadas (números enteros) de cada mes. Entonces, en el eje de las abscisas (eje horizontal) se representan los meses y, por tanto, las columnas son cada mes que registremos datos sobre temperaturas.
Termómetro grafico de barras y calendario.
La serie en el eje de las abscisas (eje horizontal) sería:
Enero, febrero, marzo, abril, mayo, junio, julio, agosto, septiembre, octubre, noviembre y diciembre.
Las serie en el eje de las ordenadas (eje vertical) sería:
El eje empezaría con la temperatura mínima y terminaría con la temperatura máxima.
Las temperaturas redondeadas son números enteros porque podemos tener temperaturas por debajo de cero (0), cero (0) y por encima de cero (0). Entonces, las podemos englobar dentro de los números enteros:
Conjunto de los números enteros
También, con este ejemplo podemos ver qué es un conjunto discreto. Como estamos dividiendo el tiempo en mensualidades, entre mes y mes no existe observación. Es decir, tenemos la temperatura de enero y la temperatura de febrero pero no tenemos las temperaturas entre la noche de 31 de enero y 1 de febrero. Lo mismo para los otros meses.
Gráficos de barra
Tal y como muestra la imagen, entre columnas hay un “vacío” y, precisamente, es este vacío el que determina el conjunto discreto. Si fuera un conjunto continuo, tendríamos tantas observaciones entre mes y mes (infinitas) que podríamos trazar una línea continua (sin espacios entre barras).
Los números racionales incluyen no solo aquellos enteros, sino también los que pueden expresarse como el cociente de dos números enteros, de manera que pueden tener una parte decimal.
El conjunto de números racionales puede expresarse de la siguiente forma:
Conviene señalar que la parte decimal de un número racional puede repetirse indefinidamente, caso en el cual se le denomina periódico. Así pues, puede tratarse de un periódico puro, cuando la parte decimal contiene uno o más números que se repiten al infinito, o un periódico mixto, cuando después de la coma decimal hay algún número, o algunos números, que no se repiten, mientras que el resto sí se prolonga al infinito.
DEFINICION TECNICA
Los números racionales son las fracciones que pueden formarse a partir de números enteros y pertenecen a la recta real.
En otras palabras, los números racionales son números reales que pueden reescribirse como la fracción de dos números enteros porque se conocen tanto el numerador como el denominador.
El nombre de racionales es la traducción del inglés, rationals, que hace referencia a ratio, es decir fracción. Entonces, sabiendo que los números racionales se asocian a una ratio, será más fácil recordarlos.
Racional = Racional = Ratio = Fracción => Sí podemos expresarlos como fracción de dos números enteros.
Los números enteros se identifican con la letra Z y los números racionales se identifican con la letra Q, entonces, si los números racionales son fracciones de números enteros, puede verse como:
Tipos de números racionales
Los números reales se dividen entre números irracionales y números racionales, los cuales pueden reducirse a números enteros y estos a números naturales. Es decir, que existen dos grandes tipos de números racionales: los enteros y los naturales.
Se dice que los números racionales son fracciones de números enteros porque los números enteros ya incluyen los números naturales.
Fórmula de los números racionales
Hay infinitos números, por lo que podemos hacer infinitas fracciones de números enteros, pero hay que prestar atención en saber diferenciar cuando un número es irracional.
Por ejemplo,
¿ 8,75 es un número racional?
Sí, porque podemos expresarlo como una fracción:
Ejemplo de un numero racional
¿ 2,71828182845904523536028747135… es un número racional?
No, porque no podemos expresarlo como una fracción:
Ejemplo de un número irracional
¿ 5,666666666666667 es un número racional?
Sí, porque aunque haya decimales y la serie continúe hasta el infinito puede expresarse como una fracción:
Ejemplo de un numero irracional Ejemplo de números racionales
¿Parece fácil ver cuando un número es racional o irracional? Entonces, aquí va la pregunta: ¿Todas las raíces son números racionales?
La respuesta es que algunas raíces son números racionales y otras irracionales. Por ejemplo, la raíz cuadrada de cuatro es un número racional, pero la raíz cuadrada de 93 es irracional.
Ejemplo de un numero racional y un numero irracional.
Otro ejemplo de números racionales, serían todos los números enteros como el 5 o el 987.
En conclusión, son números racionales todos aquellos que se puedan expresar mediante una fracción matemática. Por ejemplo, 987/5 también sería un número racional.
Los números irracionales no pueden expresarse como el cociente de dos números enteros, tampoco se puede especificar una parte periódica que se repita, aunque se extienden hasta al infinito.
Los números irracionales y los racionales son conjuntos disjuntos. Es decir, no tienen elementos en común.
Veamos algunos ejemplos de números irracionales:
DEFINICION TECNICA
Los números irracionales son números reales que no pueden expresarse ni de manera exacta ni de manera periódica.
En otras palabras, los números irracionales son números reales que no somos capaces de expresarlos en forma de fracción porque desconocemos tanto el numerador como el denominador.
El nombre de racionales es la traducción del inglés, rationals, que hace referencia a ratio, es decir fracción. Entonces, sabiendo que los números racionales se asocian a una ratio, será más fácil recordarlos.
Irracional = Irracional = Irratio = No Ratio = No Fracción => No podemos expresarlos como fracción de dos números enteros.
Los números irracionales se identifican con la letra:
Tipos de números irracionales
Los números reales se dividen entre números irracionales y números racionales, los cuales pueden reducirse a números enteros y estos a números naturales. Los números irracionales quedan al margen y no pueden subdividirse más. Es decir, que técnicamente no existen tipos de números irracionales.
Fórmula de los números irracionales
Hay infinitos números, pero hay que prestar atención en saber diferenciarlos de los números racionales.
Por ejemplo,
¿ 2,71828182845904523536028747135… es un número irracional?
Sí, porque no podemos expresarlo como una fracción:
Ejemplo de un número irracional
¿ 5,666666666666667 es un número irracional?
No, porque aunque haya decimales y la serie continúe hasta el infinito puede expresarse como una fracción:
¿ 8,75 es un número irracional?
No, porque podemos expresarlo como una fracción:
Ejemplo de un número racional
Ejemplos de números irracionales famosos
Los números irracionales más famosos son:
Existen aproximaciones para estos números, pero no son exactas.
Algunas raíces son números racionales y otras irracionales. Por ejemplo, la raíz cuadrada de 4 es un número racional, pero la raíz cuadrada de 93 es irracional.
Ejemplo de un numero racional y un numero irracional
Si alguna vez tienes dudas sobre todo lo que hemos aprendido, recuerda estos dos ejemplos de números irracionales famosos:
Numero pi→ Aunque habitualmente se aproxima al famoso 3,14, no se puede expresar como fracción.
Número e → Muy utilizado en matemáticas y especialmente en el caso de los logaritmo naturales
Los números reales son aquellos que incluyen tanto a los números racionales como a los irracionales.
Es decir, los números reales van desde el menos infinito hasta el más infinito.
DIFINICION TECNICA
Los números reales son cualquier número que corresponda a un punto en la recta real y pueden clasificarse en números naturales, enteros, racionales e irracionales.
En otras palabras, cualquier número real está comprendido entre menos infinito y más infinito y podemos representarlo en la recta real.
Los números reales son todos los números que encontramos más frecuentemente dado que los números complejos no se encuentran de manera accidental, sino que tienen que buscarse expresamente.
Los números reales se representan mediante la letra R ↓
Dominio de los números reales
Entonces, tal y como hemos dicho, los números reales son los números comprendidos entre los extremos infinitos. Es decir, no incluiremos estos infinitos en el conjunto.
Números reales en la recta real
Esta recta recibe el nombre de recta real dado que podemos representar en ella todos los números reales.
Línea real.
Los números reales y la Matrioshka
Tenemos que entender el conjunto de reales como la Matrioshka, es decir, como el conjunto de muñecas tradicionales rusas organizadas de mayor a menor.
La serie de las muñecas sería tal que la muñeca más grande contiene la siguientes muñecas más pequeñas. Este conjunto de muñecas recogido dentro de la muñeca más grande se llama Matrioshka. Esquemáticamente:
(Muñeca A > Muñeca B > Muñeca C) = Matrioshka
La Matrioshka la podemos ver de lado (figura a la izquierda del igual) y también desde arriba o abajo (figura a la derecha del igual). De las dos formas podemos ver claramente la jerarquía de dimensiones que sigue la serie.
Entonces, de la misma manera que recogemos las muñecas rusas también podemos organizar los números reales siguiendo el mismo método.
Esquema de los números reales
En este esquema podemos ver claramente que la organización de los números reales es similar al juego de muñecas rusas visto desde arriba o abajo.
Clasificación de los números reales
Tal y como hemos visto, los números reales pueden clasificarse entre números naturales, enteros, racionales e irracionales.
Los números naturales es el primer conjunto de números que aprendemos de pequeños. Este conjunto no tiene en cuenta el número cero (0) excepto que se especifique lo contrario (cero neutral).
Expresión:
Pista → Nos podemos acordar de los números naturales pensando en que son los números que usamos “naturalmente” para contar. Cuando contamos con la mano obviamos el cero, lo mismo para los números naturales.
Primeros elementos del conjunto de números naturales.
Los números enteros son todos los números naturales e incluyen el cero (0) y todos los números negativos.
Expresión:
Ejemplo de algunos de los elementos del conjunto de números enteros.
Pista: → Nos podemos acordar de los números enteros pensando en que son todos los números que usamos naturalmente para contar junto con sus opuestos e incluyendo el cero (0). A diferencia de los racionales, los números enteros representan “enteramente” su valor.
Los números racionales son las fracciones que pueden formarse a partir de los números enteros y naturales. Entendemos las fracciones como cocientes de números enteros.
Expresión:
Pista → Nos podemos acordar de los números racionales pensando en que siendo fracciones de números enteros, es “racional” que el resultado sea un número entero o un número decimal finito o semiperiódico.
Ejemplo de algunos de los elementos del conjunto de números racionales.
Los números irracionales son números decimales que no pueden expresarse ni de manera exacta ni de manera periódica.
Expresión:
Pista → Nos podemos acordar de los números irracionales pensando en que son todos los números que no encajan en las clasificaciones anteriores y que también pertenecen a la recta real.
Ejemplo de algunos elementos del conjunto de números irracionales.
Ejemplos de números reales
En el siguiente ejemplo sobre los números reales, comprueba que los siguientes números corresponden a punto en la recta real.
Números naturales: 1,2,3,4…
Números enteros: …,-4,-3,-2,-1, 0, 1, 2, 3, 4…
Números racionales: cualquier fracción de números enteros.
Esquema números reales.
Letra que representa a los números enteros.
